• 참고서적 : 만화로 함께 배우는 푸리에 해석, 성인당

<기초지식 1>

Rendered by QuickLaTeX.com

진동을 원으로 표현하면, 위의 그림과 같이 나타낼 수 있다. 위의 {$r$}, {$wt$}를 따로 나타내보면

Rendered by QuickLaTeX.com

{$y$}{$t$}의 관계는 위의 그림처럼 나타낼 수 있고, {$w$}{$r$}의 관계는 아래와 같다.

Rendered by QuickLaTeX.com

<기초지식 2>

     \begin{align*} \sin(x)\prime &= \cos(x) \\ \cos(x)\prime &= -\sin(x) \\ \int sin(x)\, dx &= -\cos(x) \\ \int cos(x)\, dx &= \sin(x) \\ \end{align*}

Rendered by QuickLaTeX.com

삼각함수의 미분은 {$ d\theta $} 를 과장하여 확대했을때 그려지는 삼각형을 이용해서 구하면 된다. 반지름 1의 원을 기준으로 하면,  {$ dy = d\theta * \cos(\theta) $} 인데, {$ \theta $} 를 각으로 갖는 작은 삼각형의 빗변이 {$ d\theta $} 인 것은 반지름의 1인 삼각형에서 {$ d\theta $} 라디안 값을 갖는 원호(arc)의 길이는 똑같은  {$ d\theta$} 이기 때문이다.

물론 이 그림에서 원호가 아닌 삼각형으로 나타낸 것은 미분 유도를 위해 {$ d\theta $} 를 과장해서 표현했기 때문이다. ({$ d\theta $} 는 사실 접선의 기울기! = 각속도({$w$}))

     \begin{align*} \int_0^\pi sin(x) dx= [-cos(x)]_0^\pi &= - ( cos(\pi) - cos(0)) = -(-1-1) = 2 \\ \sin(x)\cdot\cos(x) &= \frac{1}{2}\cdot\sin(2x) \end{align*}

요런 함수들을 알면 좋다.

 

<기초지식3>

직교 상태라는 것은 벡터에서 내적이 0이라는 것으로, 두 벡터의 사이각이 {$90^\circ$}이라는 이야기다. 직교 상태의 벡터의 내적은 항상 0인데, 즉 직교 상태의 함수의 곱의 정적분도 항상 0이 된다.
이 부분에서 정적분을 이야기 할 때에 그 범위는 0에서 {$2\pi$}까지를 이야기 하게 되는데, 그 이유는
{$sin(nx)$} 에서 n이 무엇이든지 간에 기준 주기를 {$sin(1x)$}의 주기로 의식하게 되어 0에서 {$2\pi$}를 단순 대입하는 것이 가능하다.

{$a \neq b$}일 때, {$sin(ax)$}{$sin(bx)$}와 항상 직교한다.
{$a \neq b$}일 때, {$cos(ax)$}{$cos(bx)$}와 항상 직교한다.
(증명은 생략, 삼각함수의 곱의 적분 공식 이용)
또한 {$sin(nx)\cdot\cos(nx)$}의 정적분도 항상 0이 된다.

 

<기초 지식4>

 {$a\cdot\sin(bx)$}
위 함수에서 {$a$}는 진폭, {$b$}는 주기를 나타낸다.

Rendered by QuickLaTeX.com

{$\theta$}를 위상이라고 하는데 위 그래프의 경우 {$\sin x+\theta$} 라고 나타낼 수 있지만, 푸리에 해석을 위해서는 {$a\sin(x) + b\cos(x)$} 로 구한다. 두 함수는 위에 서술한 바와 같이 직교하는 함수이기 때문에 다른 방식으로는 나타낼 수 없는데, 그 이유는 {$\cos(x) = b\sin(x)$} 를 만족하는 {$b$} 값은 존재하지 않기 때문이다.

정리하자면 {$a\sin(x) + b\cos(x)$} 공식을 통해 변수 {$a,b$} 를 바꿈으로써, 주기는 변동하지 않으면서 진폭과 위상을 바꿀 수 있다.

진폭의 경우 벡터의 크기를 이용하는 방식으로,

     \begin{align*} d_n=$\sqrt{a_n^2+b_n^2} \end{align*}

다음과 같이 구할 수 있다.

0 Shares:
Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

You May Also Like

[Matlab] Specgram

** 아래 그림은 explore에서는 안보일 수 있습니다 **원문 : http://ece.uprm.edu/~caceros/stft/specgram.htmSpecgram 및 Specgramdemo 함수를 통한 Time-dependent frequency analysisSpecgram 함수는…